更新时间：2024-06-22 16:03
《偏微分方程》共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open problem）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。
《偏微分方程》可作为高等院校数学系学生的教材，也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。
第一章 绪论
1 常用符号
2 基本概念
3 一些例子
4 纵览
第二章 一阶方程
1 一个简单线性方程
1.1 解析求解：特征线方法
1.2 近似求解：有限差分方法
2 一类简单拟线性方程
2.1 Burgers方程
2.2 一般情形
2.3 导数的突变和破裂时间
3 拟线性方程的几何理论
4 拟线性方程的Cauchy问题
4.1 Cauchy问题
4.2 局部解的存在性
4.3 解的存在唯一性条件
4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程
4.5 高维情形
4.6 例子
5 一阶偏微分方程组
5.1 一阶线性偏微分方程组
5.2 一阶拟线性偏微分方程组
6 总结与思考
第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程
1 拟线性二阶方程的特征
2 奇性的传播
3 二阶线性方程的标准形
4 一维波动方程
5 总结与思考
第四章 波动方程
1 一维波动方程：方程的导出及定解条件
1.1 方程的导出
2.1 定解条件
2 一维波动方程：Cauchy问题
2.1 叠加原理
2.2 齐次化原理
3 一维波动方程：初边值问题
3.1 分离变量法
3.2 非齐次方程
3.3 非齐次边界条件
4 高维波动方程的Cauchy问题
4.1 高维空间中的波动方程
4.2 定解条件
4.3 球平均法
4.4 Hadamard降维法
4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解
5 波的传播
5.1 基本概念
5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象
5.3 解的衰减
5.4 解的正则性
6 一般的Cauchy问题与初边值问题
6.1 一般的Cauchy问题
6.2 初边值问题
7 能量不等式
7.1 动能和位能
7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性
7.3 Cauchy问题解的唯～性与稳定性
8 总结与思考
第五章 热传导方程
1 热传导方程的导出及其定解条件
1.1 方程的导出
1.2 定解条件
2 Cauchy问题
2.1 Fourier变换
2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法
2.3 解的存在性
3 初边值问题
4 极值原理
4.1 极值原理
4.2 初边值问题
4.3 Cauchy问题
5 Li-Yau估计与Harnack不等式
6 渐近性态
6.1 初边值问题
6.2 Cauchy问题
7 总结与思考
第六章 Laplace方程
1 方程的导出及定解条件的提法
1.1 方程的导出
1.2 定解条件
2 变分法
2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程
2.2 变分原理
2.3 变分问题与定解问题的求解
3 调和函数
3.1 Green公式
3.2 基本积分公式
3.3 基本性质
3.4 极值原理
3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性
4 Green函数
4.1 引进Green函数的动机及其基本性质
4.2 镜像法
4.3 解的验证
5 调和函数（续）
6 强极值原理
6.1 强极值原理
6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性
7 总结与思考
第七章 拟线性双曲守恒律方程组初步
1 拟线性双曲守恒律方程组
1.1 基本概念
1.2 例子
1.3 解的破裂
2 间断解
2.1 解的定义
2.2 Rankine-Hugoniot条件
2.3 熵条件
2.4 Riemann问题
3 非线性波：经典解情形
3.1 疏散波与压缩波
3.2 应用实例——追赶问题
4 非线性波：间断解情形
4.1 单个守恒律
4.2 激波的形成与传播
4.3 Riemann问题（续）
5 总结与思考
第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理
1 准备知识
1.1 多重无穷级数
1.2 实解析函数
1.3 实解析函数（续）
2 Cauchy-Kovalevskaya定理
2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理
2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明
3 一些注记
附录一 Fourier反演公式
附录二 Li-Yau估计
参考文献