更新时间：2024-01-22 16:58
皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
皮亚诺算术(PA)的公理:
x（Sx≠0）。 x，y（（Sx=Sy→x=y）。 ，对于在 PA 的语言中的任何公式 。 x（x+0=x）。 x，y（（x+Sy）=s（x+y））。 x（x·0=0）。x，y（x·Sy=xy+x）。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ 0是自然数；
Ⅱ 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（数a的后继数a' 就是紧接在这个数后面的数（a+1），例如，1’=2，2‘=3等等）；
Ⅲ 如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；
Ⅳ 0不是任何自然数的后继数；
Ⅴ 任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（还有一种表述形式：设S是自然数的一个子集，且满足（1）0属于S。（2）如果n属于S，那么n'也属于S，则S=N，即S是包含全部自然数的集合。）(这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性)
注：若0不视作自然数，则公理中的0要换成1。
更正式的定义如下：
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x,f)：
Ⅰ X是一集合，x 为X中一元素，f是 X 到自身的映射；
Ⅱ x 不在f的值域内；
Ⅲ f 为一单射；
Ⅳ 若A 为X的子集并满足: x∈ A, 且若a ∈A, 则 f(a) 亦∈A，则A =X.
该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:
1° P(自然数集)不是空集；
2° P到P内存在a→a直接后继元素的一一映射；
3° 后继元素映射像的集合是P的真子集；
4° 若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合.
这四个假设能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据.