更新时间：2023-12-23 20:39
拓扑空间的紧集的闭集为紧集。
在度量空间中，如果一个集合的所有极限点（或称聚点）都属于这个集合，或该集合没有极限点，那么这个集合就叫做闭集。
我们把一个集合A的所有极限点所组成的集合称为A的导集，记为A'，因此用数学符号来定义闭集的话，就是：如果A'⊆A，那么A是闭集。规定空集为闭集。而如果一个集合没有极限点，那么A'=∅。因为空集是任何集合的子集，所以A'⊆A仍然成立，即A仍然是闭集。
闭集还有另外一个定义。如果一个集合包含它所有的边界点，那么这个集合叫做闭集。若以∂A来表示A的边界点，那么：如果∂A⊆A，那么A是闭集。
两个定义是等价的，这是因为设∂A⊆A，假设A不是闭集，则说明A的某些极限点不属于A。而极限点要么是A的内点，要么是A的边界点，因为A的内点一定属于A，所以那些不属于A的极限点不可能是内点，因此必然是边界点。但这和∂A⊆A矛盾。
反之，设A'⊆A，因为A的边界要么是A的极限点，要么是A的孤立点，但孤立点一定属于A，所以假设A不是闭集，则说明A的某些边界点不属于A，并且这些边界点一定是A的极限点。但这和A'⊆A矛盾。
第三种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间 X 上的子集 A 是闭合的，当且仅当 A 的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于 A。 这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。 注意，这一表述仍然依赖背景空间 X，因为序列是否在 X 中收敛依赖于 X 中的点。
（1）A是闭集当且仅当它的补集是开集。
设A是闭集，用Ac表示其在度量空间内的补集，根据开集的定义，只需要证明Ac中的点都是内点即可。
任取一点x∈Ac，若假设x不是Ac的内点，则根据内点的定义，在x的任意一个邻域内，都至少有一点不属于Ac，即在x的任意一个邻域内，都至少有一点属于A。并且很明显，这一点不可能是x自身（因为x∈Ac）。根据极限点的定义，因为x的任意一个邻域内都有一点属于A，并且这一点不是x，所以x是A的极限点。再根据A是闭集的条件，得到x∈A，矛盾。因此假设不成立，x一定是Ac的内点。根据x的任意性可知，Ac中每一点都是内点，所以Ac是开集。
或者干脆从边界的角度出发，因为A和Ac共用边界，所以如果A是闭集，那么A包含它的边界，因此Ac不可能包含边界，于是Ac是开集。反之，如果Ac是开集，那么Ac不含边界，因此边界点属于A，因此A是闭集。
（2）任意一个集合的导集和闭包都是闭集。
导集的概念在定义中有提到，闭包的概念可以从导集中得到。把集合与集合的导集之并称为集合的闭包，用符号表示，即。有的教材不利用导集的概念而是直接用邻域的概念定义闭包，设x是度量空间中的一点，如果x的任意一个邻域与A的交集都非空，那么把这样的x所组成的集合叫做A的闭包。还有的教材把A的所有内点与边界点所组成的集合叫做A的闭包。这些定义都是等价的。
（3）A是闭集当且仅当。
充分性：若，则由性质（2），因为是闭集，所以是闭集。
必要性：若是闭集，则根据定义，。又根据闭包的定义，
（4）任意多个闭集之交为闭集，有限个闭集之并为闭集。
可通过闭集的补集是开集来证明。设是一组闭集，其中a可以是有限个也可以是无限个，每个闭集的补集为，根据性质（1），是一组开集。又设，根据补集的性质，。因为任意多个开集之并为开集，即等号右边是开集，所以等号左边也是开集。因此是闭集。
有限个闭集之并为闭集同理可证。
要注意的是，无限个闭集之并不一定还是闭集。如取一组闭集，当k→∞时，其并集为，不再是闭集。
（5）闭集与开集的差集仍是闭集。
设X是一个全集，E和F是X的子集。所谓集合F与E的差集，指的是X中所有满足x∈F而x∉E的点x构成的集合。
设E在X中的补集为Ec，如果x∉E，那么x∈Ec，所以F-E=F∩Ec。若F是闭集，E是开集，根据性质（2），Ec是闭集。再根据性质（4），F∩Ec=F-E是闭集。